求线段比值毫无头绪？那是因为你没学会使用参数

在八年级数学几何题中，求线段比值一直是难点，特别是在题目条件中没有给出线段长度的前提下，很多学生感到毫无头绪，这个时候，需要引入能表示线段长度的量，即设参数。

设参数也是初中数学的常用方法，可广泛用于求线段比值、角度比值、面积比值等，因为在求比值的过程中，参数通常会被消掉，使用参数，一定记得“过河拆桥”，即消参。

题目

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是对角线BD上的一点，E是BC边上的一点，PE=PA.

(1)如图1，求∠APE的度数；

(2)如图2，BE的垂直平分线交BD于点F，交BE于点G，求PF:AB的值；

(3)如图3，PE交CD于点M，当∠CME=45°时，求BC:CE的值.

解析：

(1)含60°角的菱形，实际上可看作两个等边三角形拼成，属于特殊菱形，而菱形又是轴对称图形，BD即是它的对称轴，巧妙利用好这一性质，可让证明过程简化不少。

点P在BD上，于是连接PC，根据对称性，PA=PC，再根据题目条件中的PE=PA，我们可得PC=PE，如下图：

我们所要求的∠APE在四边形ABEP中，因此∠APE=360°-∠BAP-∠ABC-∠E=300°-∠BAP-∠E，再根据对称性，∠BAP=∠BCP=180°-∠PCE=180°-∠E，代入前式，即可得到∠APE=300°-(180°-∠E)-∠E=120°；

(2)我们知道菱形对角线平分一组对角，因此BD平分∠ABC，从而得到特殊∠PBC=30°，结合图中的垂直平分线，我们可构造含30°角的直角三角形，同时在前一小题中，我们证明了等腰△PCE，不妨过点P作PH⊥BE，再构造出一个特殊直角三角形，如下图：

鉴于题目并未给出任何边长的条件，因此为求比值，需要设参数来表示线段AB和PF，设哪个呢？

菱形的边长作用极其重要，首先我们可设菱形边长为x，然后在Rt△BFG中，三边数量关系为1：√3：2，因此再设FG=y，然后我们来探究如何表示PF。

在△BFG中，BF=2y，BG=√3y，点G是BE中点，因此BE=2BG=2√3y，所以CE=BE-BC=2√3y-x，前面已经证明过等腰△PCE，根据三线合一，可求出CH=√3y-x/2，再到第二个特殊直角三角形△BPH中，BH=BC+CH=x+√3y-x/2=√3y+x/2，于是PH=y+√3x/6，BP=2y+√3x/3，所以PF=BP-BF=√3x/3，至此我们可以求出比值了，结果为√3/3；

(3)本小题增加了一个特殊角45°，那么此时的比值又发生什么变化呢？我们依然延续上一小题中的参数设置，连接AC交BD于N点，如下图：

我们首先来计算一下相关的角度，在△MEC中，∠CME=45°，∠MCE=60°，所以得到∠E=75°，因此我们可以得到两个等腰三角形，分别是△BPE和△PCE，再计算出∠CPE=30°，所以得到∠APC=90°，由对称性求得∠BPC=45°，现在可以利用特殊直角三角形的边长关系了。

仍然设菱形边长为x，则CN=x/2=PN，BN=√3x/2，而BP=BN+PN=√3x/2+x/2，于是BE=BP=√3x/2+x/2，所以CE=BE-BC=√3x/2-x/2，接下来比值就可以求，化简后得√3+1.

解题反思

在使用参数之前，如何想到用参数？题目条件没有线段长，却要求比值是其一，存在特殊边长之间的关联例如等腰直角三角形，含30°角的直角三角形等是其二，存在等量关系例如全等、对称等是其三，除这道题外，许多其它问题也适用于参数法，例如解应用题，函数题，参数的意义在于辅助或简化，最终它会被消掉，如果推演到最后参数居然还在，那肯定说明过程中存在问题。

其实不需要把参数看得有多么高深莫测，当我们在学习角度表示是，标注∠1、∠2等，它们就是参数，同样在解题过程中，线段名称过多导致寻找数量关系不方便，设一个字母例如x，y等表示，最终起到的作用是简化过程。

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